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[Endboss]

Mir ging es vor allem um die H?ufigkeit/Verteilung der Ergebnisse mit mehreren W?rfeln. Es w?re aber auch nicht schlecht, wenn du mir den Erwartungswert auch gleich noch erkl?ren kannst.

Soweit ich das bisher verstanden habe, laufen alle Berechnungsverfahren f?r die Wahrscheinlichkeit tats?chlich darauf hinaus, alle m?glichen [Ereignisse/W?rfelw?rfe/...] aufzulisten und die Ergebnisse zu vergleichen. Mit den Tabellen mache ich genau das. Kennst du noch einen andern Weg?

Der Erwartungswert bei Ws ist (s+1)/2 (s=Seiten). Bei mehrere Wuerfel addieren diese Werten, so bei aWs ist der Erwartungswert a(s+1)/2 (a=Anzahl).  Beispiel: bei 4W6 ist es 4(6+1)/2 = 14.

Genaue H?ufigkeiten koennen mit "generating functions" gegeben werden.  Zu einem Ws zuordnen wir das Polynomium

f(x) = (x + x^2 + ... + x^s)/s
      = (1/s)x + (1/s)x^2 + ... + (1/s)x^s

in einer unbekannte Symbol x.  Der Koeffizient von x^i (x hoch i) ist die Wahrscheinlichkeit von dem Ergebnis i.  Es ist 1/s wenn 1 <= i <= s, sonst ist es 0.

Fuer aWs ist dann der "generating function" das produkt von a kopien von f(x), gleich

f(x)^a = (x + x^2 + ... + x^s)^a / s^a

Ausrechnen nach beliebiger Art und Weise.  Programme sowie Maple, Mathematica etc. koennen das leicht machen.

Der Koeffizient von x^j ist dann gleich die Wahrscheinlichkeit von dem Ergebnis j.  Ist positiv fuer a <= j <= as, sonst 0.

Zum beispiel bei 4W6 ist das

(x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6)^4 / 6^4
=
(x^2 + 2x^3 + 3x^4 + 4x^5 + 5x^6 + 6x^7 + 5x^8 + 4x^9 + 3x^10 + 2x^11 + x^12)^2 / 6^4
=
(x^4 + 4x^5 + 10x^6 + 20x^7 + 35x^8 + 56x^9 + 80x^10 + 104x^11 + 125x^12 + 140x^13 + 146x^14 + ... + x^24) / 6^4

so die Wahrscheinlichkeit dass 4W6 gibt genau 14 ist 146 / 6^4 = 73 / 648, oder ueber 11%.

Die Wahrscheinlichkeit dass 4W6 von 4 durch 7 gibt ist
(1+4+10+20)/6^4 = 35/1296 oder knapp 3%.

K?nnte viele solche Tabellen leicht herstellen, wenn die genaue Fragen bekannt sind.

Wenn gewuenscht kann die Funktion fuer Ws auch als

f(x) = x(x^s - 1)/(x - 1)

geschrieben werden, so das die Funktion fuer aWs ist

f(x)^a = x^a (x^s - 1)^a / (x - 1)^a

wo (x^s - 1)^a und (x - 1)^a mit Binomialkoeffizienten gegeben werden koennen, aber dann bleibt noch die Polynomiumsdivizion, die Aufwendig ist.

[Momosnyx]

Mir ging es vor allem um die H?ufigkeit/Verteilung der Ergebnisse mit mehreren W?rfeln. Es w?re aber auch nicht schlecht, wenn du mir den Erwartungswert auch gleich noch erkl?ren kannst.

Soweit ich das bisher verstanden habe, laufen alle Berechnungsverfahren f?r die Wahrscheinlichkeit tats?chlich darauf hinaus, alle m?glichen [Ereignisse/W?rfelw?rfe/...] aufzulisten und die Ergebnisse zu vergleichen. Mit den Tabellen mache ich genau das. Kennst du noch einen andern Weg?

Das h?ngt von der konkreten Fragestellung ab. Das "Brute Force" Verfahren funktioniert, aber manchmal gibt es einfachere Wege. Ich sto?e bei der Kombinatorik auch ziemlich schnell an meine Grenzen, aber vielleicht helfen Dir schon mal ein paar Grundlagen:

1. Die Wahrscheinlichkeit p eines Ereignisses ist:

p = (Anzahl der gew?nschten Ergebnisse) / (Anzahl aller m?glichen Ergebnisse)

(sofern diese Ergebnisse unabh?ngig voneinenander sind, aber diese Feinheiten lassen wir jetzt mal weg)

Wir nehmen also immer an, dass wir perfekte W?rfel haben, bei denen jeder Wurf die gleiche Wahrscheinlichkeit hat. (Egal was Murphy oder die Erfahrung der Rollenspieler behaupten.)

Beispiel 1: Wenn Du einen sechsseitigen W?rfel hast, dann ist die Wahrscheinlichkeit eine Sechs zu w?rfeln:

p(6) = 1 / 6

Anzahl gew?nschte Ergebnisse: 1 (W?rfel zeigt eine 6)
Anzahl m?gliche Ergebnisse: 6 (W?rfel kann Zahlen 1-6 zeigen)
Zur Notation: statt p(6) h?tte man auch nur p schreiben k?nnen, p(6) sagt

Das l?sst sich direkt Verallgemeinern: F?r einen N-seitigen W?rfel ist die Wahrscheinlichkeit einen bestimmten Wert w zu W?rfeln p(w) = 1/N

F?r einen 20-seitigen W?rfel bedeutet das also, die Chance einen bestimmten Wert zu W?feln ist 1/20 = 5%.
Man hat also bei mit jedem Wurf eine Chance von 5% einen Immersieg zu w?rfeln.


2. Wahrscheinlichkeiten von Ergebnissen lassen sich addieren.

Beispiel: Wie gro? ist die Wahrscheinlichkeit auf einem W6 weniger als 3 zu w?rfeln?

Rechnung 1: gew?nschte Ergebnisse = 2 (1 gew?rfelt, 2 gew?rfelt), m?gliche Ergebnisse = 6
p(w < 3) = 2/6 = 1/3

Rechnung 2:
Wahrscheinlichkeit eine eins zu W?rfeln: 1/6
Wahrscheinlichkeit eine zwei zu W?rfeln: 1/6
p(w<3) = 1/6 + 1/6 = 1/3

Die Rechnung 2 ist im Prinzip schon ein (sehr banales) Beispiel daf?r, wie ich eine Wahrscheinlichkeit f?r ein Ergebnis ohne Abz?hlen rechnen kann.


3. Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller m?glichen Ereignisse muss 1 ergeben.
Beispiel 1: Wenn ich eine (perfekte) M?nze werfe, kommt zu 50% Kopf, zu 50% Zahl.
50% + 50% = 100% = 1

Das gilt nat?rlich auch bei einer gezinkten M?nze, wenn beispielsweise p(Kopf) = 40%, dann muss p(Zahl) = 60% sein.

Beispiel 2: Bei einem W6 kommt jedes Ergebnis mit der Wahrscheinlichkeit 1/6.
1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1


4. Die Wahrscheinlichkeit des inversen Ereignisses q von p ist
q(p) = 1 - p

Das inverse (keine Ahnung, ob das der korrekte Ausdruck ist) Ereignis q von p ist das "Gegenteil" der Ergebnisse von p oder "Nicht-p". Das klingt auch erst mal banal, ist aber manchmal sehr praktisch. Manchmal kann es beispielsweise einfacher sein, die Wahrscheinlichkeit des inversen Ereignisses zu berechen, dann ergibt sich p = 1 - q.

Beispiel 1: Die Wahrscheinlichkeit einer gezinkten M?nze "Kopf" zu werfen ist 40%. Damit ergibt sich die Wahrscheinlichkeit "Zahl" zu werfen direkt als 100% - 40% = 60%.

Beispiel 2: Wie gro? ist die Wahrscheinlichkeit, mit 1W6 die Werte 1-5 zu werfen?

Rechnung 1 (nach #1):
Anzahl gew?nschte Ergebnisse: 5 (Wurf 1,2,3,4,5)
Anzahl m?gliche Ergebnisse: 6

p(1..5) = 5/6

Rechnung 2 (nach #2): p(1..5) = 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 5/6

Rechnung 3 (nach #4): Wir fragen nach der Wahrscheinlichkeit des umgekehrten Ereignisse: Wie gro? ist die Wahrscheinlichkeit nicht 1-5 zu werfen?
Das l?sst sich umformulieren: Wie gro? ist die Wahrscheinlichkeit eine 6 zu w?rfeln? (das einzige andere Ergebnis)
q(p(1..5)) = p(6) = 1/6
==> p(1..5) = 1 - q = 5/6


5. Die Anzahl der m?glichen Ergebnisse zweier unabh?ngiger Ereignisse A und B ist

Anzahl (A und B) = Anzahl(A) * Anzahl(B)

Beispiel 1: Man wirft 2W6. Wieviele m?gliche Kombinationen gibt es?
Anzahl(W?rfel 1): 6
Anzahl(W?rfel 2): 6

Anzahl (2W6) = 6 * 6 = 36

Beispiel 2: Man wirft 4WF. Wieviele m?gliche Kombinationen gibt es?
Anzahl(1WF): 3 (auch wenn jedes Symbol doppelt vorkommt, gibt es nur 3 Ergebnisse: +, -, 0)

Anzahl(4WF) = 3 * 3 * 3 * 3 = 81

Also: Wirft man n s-seitige W?rfel, ist die Anzahl der m?glichen Kombinationen

Anzahl(nWs) = sⁿ


6. Die Wahrscheinlichkeit, das zwei voneinander unabh?ngige Ereignisse A und B eintreten ist
p(A und B) = p(a) * p (b)

Beispiel: Man wirft 2W6. Wie gro? ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide eine 6 zeigen?

Rechnung 1:
Anzahl m?glicher Ergebisse (nach #1 und #5): Anzahl(2W6) = 6² = 6*6 = 36
Anzahl gew?nschter Ergebisse: 1 (abgez?hlt )

p(2W6 = 6/6) = 1/36

Rechnung 2: (nach nach #1 und #6)
p(A) = p(W?rfel 1 zeigt 6) = 1/6
p(B) = p(W?rfel 2 zeigt 6) = 1/6

p(A und B) = p(A) * p(B) = 1/6 * 1/6 = 1/36


Soweit so gut, gibt es dazu Fragen?

[TheGhost]

Gratuliere, Momosnyx, das war eine sehr sch?ne Zusammenfassung von meinem gesamten Wissen zum Thema Wahrscheinlichkeit... 

Vielleicht habe ich mich etwas ungenau ausgedr?ckt. Also nochmals von Vorne: Ich suche nach einem einfachen Weg, die Anzahl der M?glichkeiten zu bestimmen, welche zu einem bestimmten Ergebnis f?hren.

Beispiel 1: (der einfache Fall)
W?rfel: 2w6
gew?nschtes Ergebnis: Maximalwert (12)
Anzahl M?glichkeiten: [6+6] => 1
Wahrscheinlichkeit: 1/36 = 2.7%

Beispiel 2: (der etwas komplexere Fall)
W?rfel: 2w6
gew?nschtes Ergebnis: 7 oder mehr
Anzahl M?glichkeiten:
- f?r die   7: [1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1] => 6
- f?r die   8: [2+6, 3+5, 4+4, 5+3, 6+2] => 5
- f?r die   9: [3+6, 4+5, 5+4, 6+3] => 4
- f?r die 10: [4+6, 5+5, 6+4] => 3
- f?r die 11: [5+6, 6+5] => 2
- f?r die 12: [6+6] => 1
Total 21 M?glichkeiten, eine 7 oder mehr zu W?rfeln.
Wahrscheinlichkeit: 21/36 = 58.3%

Vielleicht enth?lt deine Antwort, Lonne, was ich suche. Da brauche ich aber noch etwas Zeit. Im Moment geht es mir wie Endboss.

[Nasenmann]

...
Vielleicht enth?lt deine Antwort, Lonne, was ich suche. Da brauche ich aber noch etwas Zeit. Im Moment geht es mir wie Endboss.

Ich bin mal so frei, und hole dir das aus Lonnes Post heraus. Lorbeeren aber bitte an Lonne weitergeben

Im Grunde hat Lonne das alles schon gesagt, ich lasse nur die Wahrscheinlichkeiten weg und konzentriere mich auf die H?ufigkeiten.

Der Teil von Lonne, der dich interessiert, ist dieser Part:
(x + x^2 + ... + x^s)^a / s^a

s ist dabei eben die Anzahl der W?rfelseiten, beim W6 eben "6". Und a ist die Anzahl der W?rfel, bei 2W6 eben "2".

Der Teil im Nenner (s^a) ist die Gesamtzahl aller M?glichkeiten und interessiert dich im Moment nicht weiter. Interessanter ist der Z?hler, denn dort k?nnen wir die absolute H?ufigkeit rausholen, die du suchst.

Das Beispiel von Lonne: 4W6
Also f?r s eine 6 und a eine 4. Das macht dann:

(x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6)^4

Und das muss ausmultipliziert werden, bis die Klammer komplett aufgel?st ist. Kann von Hand recht aufwendig werden, aber Lonne hat das ja schon f?r uns gemacht:

x^4 + 4x^5 + 10x^6 + 20x^7 + 35x^8 + 56x^9 + 80x^10 + 104x^11 + 125x^12 + 140x^13 + 146x^14 + ... + x^24

Und voila! Wir sind fertig. Du willst wissen, wie viele M?glichkeiten du hast, mit 4 W?rfeln ne 7 zu erhalten? Dann such das ^7! Dort findest du dein Ergebnis direkt vor dem x: die 20.
Das Ergebnis soll eine 11 sein? Suchen und finden: 104 M?glichkeiten!
Oder Werte von 5 bis 8? Ergibt sich durch Addition der Einzelwerte: 4 + 10 + 20 + 35 = 69 M?glichkeiten!

Das Ganze k?nntest du jetzt auch f?r 2W10 machen, da m?sstest du folgendes ausmultiplizieren:
(x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6 + x^7 + x^8 + x^9 + x^10)^2

Ich mache das jetzt nicht, weil ich mich eh nur verhedder, aber man kann sofort sehen, dass der niedrigste Wert ne 1x^2 wird und der h?chste 1x^20. Das passt ja auch zu den m?glichen W?rfelergebnissen, die ja nur von 2 bis 20 gehen, wobei die 2 und 20 jeweils nur 1 Mal vorkommen k?nnen.

[MH+]

X______________________________x

[Nasenmann]

Ok, dann fangen wir klein an.

Formel: (x + x^2 + ... + x^s)^a
a = Anzahl der W?rfel
s = Anzahl der W?rfelseiten

Man nehme 1W2: Damit ist a = 1 und s = 2.
Oben einsetzen: (x^1 + x^2)^1.
Ausmultiplizieren: x^1 + x^2. Fertig.

Dann ablesen:
Anzahl M?glichkeiten eine 1 zu w?rfeln, findet sich vor x^1: N?mlich 1
Anzahl M?glichkeiten eine 2 zu w?rfeln, findet sich vor x^2: N?mlich 1

Achtung, jetzt wirds schwerer: 2W2 !   

Einsetzen: (x^1 + x^2)^2
Ausmultiplizieren: = x^2 + 2*x^3 + x^4. Fertig.

Jetzt wieder ablesen:
Anzahl M?glichkeiten eine 1 zu w?rfeln, findet sich vor x^1: Gibts garnicht, also 0.
Anzahl M?glichkeiten eine 2 zu w?rfeln, findet sich vor x^2: N?mlich 1
Anzahl M?glichkeiten eine 3 zu w?rfeln, findet sich vor x^3: N?mlich 2
Anzahl M?glichkeiten eine 4 zu w?rfeln, findet sich vor x^4: N?mlich 1

[Momosnyx]

Ich bin mal so frei, und hole dir das aus Lonnes Post heraus. Lorbeeren aber bitte an Lonne weitergeben

Die Methode kannte ich noch nicht, cool!

[Endboss]

Juhu, jetzt hab ichs gerafft !

Und ich hatte mal Mathe LK *sch?m*

[Momosnyx]

X______________________________x

Im Prinzip ist das nichts Anderes als das Ausz?hlen der m?glichen Kombinationen wie es The Ghost beschrieben hat.
Man verwendet nur andere Mittel daf?r:

Wenn man die Verteilung von 2W6 ausz?hlst, dann stellt man erst alle Kombinationen zusammen:

1 / 1
1 / 2
...
6 / 5
6 / 6

Davon berechnet man dann die Summen und z?hlt die Anzahl der Kombinationen, die die gleiche Summe geben, z. B. 7:

1 / 6
2 / 5
3 / 4
4 / 3
5 / 2
6 / 1

Mit der anderen Methode bildet man folgenden Ausdruck:

(x^1 + x^2 + x^3 + x^4 +x^5 + x^6) * (x^1 + x^2 + x^3 + x^4 +x^5 + x^6)

x^1 repr?sentiert dabei den Wurf einer 1.
In der vorderen Klammer sind die m?glichen Werte des ersten W?rfels, in der hinteren Klammer des zweiten W?rfels.

Wenn man jetzt den Ausdruck ausmultiplizier, entspricht das dem Bilden aller m?glichen Kombinationen:
x^1+x^1 + x^1*x^2 + x^1*x^3 ... x^6 * x^6

Jetzt kommt der Grund ins Spiel, warum man f?r die einzelnen W?rfelwerte immer x^n verwendet hat: x^a * x^b = x^(a+b)
Das Produkt x^3 * x^4 entspricht also der Kombination 3/4 und ergibt dann x^7 (= Summe der beiden W?rfel)

Damit werden alle m?glichen Kombinationen durch die Multiplikation der beiden Klammern gebildet und die Zuordnung zur entsprechenden Summe geschieht ?ber die Potenz. Wenn man dann den kompletten Ausdruck hingeschrieben hat, kann man dann die Werte mit gleicher Potenz (= Kombinationen mit gleicher Summe) addieren und damit ergibt der Faktor von x^n die H?ufigkeit, dass die beiden W?rfel in Summe n ergeben.

Sch?n daran ist auch, dass man, wenn man den Ausdruck f?r z.B. 2W6 gebildet hat, den f?r 3W6 daraus erh?lt, wenn man wieder mit (x^1 + x^2 ... + x^6) multipliziert, man muss nicht mehr ganz von vorne Anfangen.

[TheGhost]

Cool, danke, an alle Rechenk?nstler 

Aufwendig wird die ganze Rechnerei immer noch, aber immerhin habe ich jetzt was zu rechnen.

Eine Frage noch:

Wenn ich gemischte W?rfel habe, z.B. 2W6+3W4, dann w?re das:

(x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6)^2 * (x+x^2+x^3+x^4)^3

Richtig?

[Nasenmann]

Wenn ich gemischte W?rfel habe, z.B. 2W6+3W4, dann w?re das:
(x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6)^2 * (x+x^2+x^3+x^4)^3

Sieht richtig aus, sollte so klappen. Das "*" muss auf jeden Fall sein, ein "+" oder so w?rde definitiv nicht gehen. Bei Zweifeln einfach kleine Werte ausprobieren, zum Beispiel 2W2 + 1W3 oder sowas. Da lassen sich die Ergebnisse noch recht leicht ?berpr?fen.

[Lonne]

Wenn ich gemischte W?rfel habe, z.B. 2W6+3W4, dann w?re das:

(x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6)^2 * (x+x^2+x^3+x^4)^3

Richtig?

Ja, richtig.  Und wenn du 4W6 wuerfelst und nur 5er und 6er gelten als gelungen (success), was sind die Wahrscheinlichkeiten von gegebene Anzahle von gelungene Wurfe?  Antwort:  Bei 1W6 gibt 4 von 6 kein gelungenen (x^0=1) und 2 von 6 gibt ein (x^1=x).  Das ist im

f(x) = (4/6) + (2/6)x = (2 + x)/3

enthalten.  Bei 4W6 ist dann

f(x)^4 = (2 + x)^4 / 3^4 = (16 + 32x + 12x^2 + 8x^3 + x^4) / 81

angesagt.  ZB ist die Chance von genau 3 gelungene Wuerfe gleich 8/81 oder knapp 10%.

Muss nach deutsche Ideome ueber Bahnhoefer Googlen...

[Nasenmann]

Muss nach deutsche Ideome ueber Bahnhoefer Googlen...

Man sagt: "Ich verstehe nur Bahnhof" wenn man etwas nicht versteht. 

[dailor]

Oder man geht zu anydice und l?sst sich das rechnen und darstellen.