Mir ging es vor allem um die H?ufigkeit/Verteilung der Ergebnisse mit mehreren W?rfeln. Es w?re aber auch nicht schlecht, wenn du mir den Erwartungswert auch gleich noch erkl?ren kannst.
Soweit ich das bisher verstanden habe, laufen alle Berechnungsverfahren f?r die Wahrscheinlichkeit tats?chlich darauf hinaus, alle m?glichen [Ereignisse/W?rfelw?rfe/...] aufzulisten und die Ergebnisse zu vergleichen. Mit den Tabellen mache ich genau das. Kennst du noch einen andern Weg?
Das h?ngt von der konkreten Fragestellung ab. Das "Brute Force" Verfahren funktioniert, aber manchmal gibt es einfachere Wege. Ich sto?e bei der Kombinatorik auch ziemlich schnell an meine Grenzen, aber vielleicht helfen Dir schon mal ein paar Grundlagen:
1. Die Wahrscheinlichkeit p eines Ereignisses ist:p = (Anzahl der gew?nschten Ergebnisse) / (Anzahl aller m?glichen Ergebnisse)(sofern diese Ergebnisse unabh?ngig voneinenander sind, aber diese Feinheiten lassen wir jetzt mal weg)
Wir nehmen also immer an, dass wir perfekte W?rfel haben, bei denen jeder Wurf die gleiche Wahrscheinlichkeit hat. (Egal was Murphy oder die Erfahrung der Rollenspieler behaupten.)
Beispiel 1: Wenn Du einen sechsseitigen W?rfel hast, dann ist die Wahrscheinlichkeit eine Sechs zu w?rfeln:
p(6) = 1 / 6
Anzahl gew?nschte Ergebnisse: 1 (W?rfel zeigt eine 6)
Anzahl m?gliche Ergebnisse: 6 (W?rfel kann Zahlen 1-6 zeigen)
Zur Notation: statt p(6) h?tte man auch nur p schreiben k?nnen, p(6) sagt
Das l?sst sich direkt Verallgemeinern: F?r einen N-seitigen W?rfel ist die Wahrscheinlichkeit einen bestimmten Wert w zu W?rfeln p(w) = 1/N
F?r einen 20-seitigen W?rfel bedeutet das also, die Chance einen bestimmten Wert zu W?feln ist 1/20 = 5%.
Man hat also bei
mit jedem Wurf eine Chance von 5% einen Immersieg zu w?rfeln.
2. Wahrscheinlichkeiten von Ergebnissen lassen sich addieren.Beispiel: Wie gro? ist die Wahrscheinlichkeit auf einem W6 weniger als 3 zu w?rfeln?
Rechnung 1: gew?nschte Ergebnisse = 2 (1 gew?rfelt, 2 gew?rfelt), m?gliche Ergebnisse = 6
p(w < 3) = 2/6 = 1/3
Rechnung 2:
Wahrscheinlichkeit eine eins zu W?rfeln: 1/6
Wahrscheinlichkeit eine zwei zu W?rfeln: 1/6
p(w<3) = 1/6 + 1/6 = 1/3
Die Rechnung 2 ist im Prinzip schon ein (sehr banales) Beispiel daf?r, wie ich eine Wahrscheinlichkeit f?r ein Ergebnis ohne Abz?hlen rechnen kann.
3. Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller m?glichen Ereignisse muss 1 ergeben.Beispiel 1: Wenn ich eine (perfekte) M?nze werfe, kommt zu 50% Kopf, zu 50% Zahl.
50% + 50% = 100% = 1
Das gilt nat?rlich auch bei einer gezinkten M?nze, wenn beispielsweise p(Kopf) = 40%, dann muss p(Zahl) = 60% sein.
Beispiel 2: Bei einem W6 kommt jedes Ergebnis mit der Wahrscheinlichkeit 1/6.
1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1
4. Die Wahrscheinlichkeit des inversen Ereignisses q von p ist
q(p) = 1 - pDas inverse (keine Ahnung, ob das der korrekte Ausdruck ist) Ereignis q von p ist das "Gegenteil" der Ergebnisse von p oder "Nicht-p". Das klingt auch erst mal banal, ist aber manchmal sehr praktisch. Manchmal kann es beispielsweise einfacher sein, die Wahrscheinlichkeit des inversen Ereignisses zu berechen, dann ergibt sich p = 1 - q.
Beispiel 1: Die Wahrscheinlichkeit einer gezinkten M?nze "Kopf" zu werfen ist 40%. Damit ergibt sich die Wahrscheinlichkeit "Zahl" zu werfen direkt als 100% - 40% = 60%.
Beispiel 2: Wie gro? ist die Wahrscheinlichkeit, mit 1W6 die Werte 1-5 zu werfen?
Rechnung 1 (nach #1):
Anzahl gew?nschte Ergebnisse: 5 (Wurf 1,2,3,4,5)
Anzahl m?gliche Ergebnisse: 6
p(1..5) = 5/6
Rechnung 2 (nach #2): p(1..5) = 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 5/6
Rechnung 3 (nach #4): Wir fragen nach der Wahrscheinlichkeit des umgekehrten Ereignisse: Wie gro? ist die Wahrscheinlichkeit nicht 1-5 zu werfen?
Das l?sst sich umformulieren: Wie gro? ist die Wahrscheinlichkeit eine 6 zu w?rfeln? (das einzige andere Ergebnis)
q(p(1..5)) = p(6) = 1/6
==> p(1..5) = 1 - q = 5/6
5. Die Anzahl der m?glichen Ergebnisse zweier unabh?ngiger Ereignisse A und B ist
Anzahl (A und B) = Anzahl(A) * Anzahl(B)Beispiel 1: Man wirft 2W6. Wieviele m?gliche Kombinationen gibt es?
Anzahl(W?rfel 1): 6
Anzahl(W?rfel 2): 6
Anzahl (2W6) = 6 * 6 = 36
Beispiel 2: Man wirft 4WF. Wieviele m?gliche Kombinationen gibt es?
Anzahl(1WF): 3 (auch wenn jedes Symbol doppelt vorkommt, gibt es nur 3 Ergebnisse: +, -, 0)
Anzahl(4WF) = 3 * 3 * 3 * 3 = 81
Also: Wirft man n s-seitige W?rfel, ist die Anzahl der m?glichen Kombinationen
Anzahl(nWs) = s
n6. Die Wahrscheinlichkeit, das zwei voneinander unabh?ngige Ereignisse A und B eintreten ist
p(A und B) = p(a) * p (b)
Beispiel: Man wirft 2W6. Wie gro? ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide eine 6 zeigen?
Rechnung 1:
Anzahl m?glicher Ergebisse (nach #1 und #5): Anzahl(2W6) = 6
2 = 6*6 = 36
Anzahl gew?nschter Ergebisse: 1 (abgez?hlt
)
p(2W6 = 6/6) = 1/36
Rechnung 2: (nach nach #1 und #6)
p(A) = p(W?rfel 1 zeigt 6) = 1/6
p(B) = p(W?rfel 2 zeigt 6) = 1/6
p(A und B) = p(A) * p(B) = 1/6 * 1/6 = 1/36
Soweit so gut, gibt es dazu Fragen?
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Thema: [Theorie] Berechnung von W?rfelchancen, nicht nur f?r DS (Gelesen 9029 mal)